Matematicas 2

CLASES DE FUNCIONES REALES

Una relación entre dos conjuntos X e Y es un conjunto de pares ordenados, cada uno de la forma (x,y) donde x es un elemento de X e y, uno de Y.

Es posible que la idea central en matemáticas sea el concepto de función. Al parecer, la palabra función fue introducida por René Descartes en 1637. Para él una función significaba tan sólo cualquier potencia entera positiva de una variable x. Gottfried Wilhelm von Leibniz, quien siempre enfatizó el lado geométrico de las matemáticas, utilizó la palabra función para denotar cualquier cantidad asociada con una curva, tal como las coordenadas de un punto sobre la curva. Leonhard Euler, identificaba cualquier ecuación o fórmula que contuviera variables y constantes con la palabra función; esta idea es similar a la utilizada ahora con frecuencia en los cursos que preceden al de cálculo. Posteriormente, el uso de funciones en el estudio de las ecuaciones sobre el flujo de calor condujo a una definición muy amplia, debida a Lejeune Dirichlet, la cual describe a una función como una regla de correspondencia entre dos conjuntos.

FUNCION POTENCIAL 

La función potencia es una función de la forma   donde a es un número real, distinto de 0, y n es un número natural distinto de 1. La función potencia esta definida para los numeros reales y su gráfica depende del exponente.

Ocupando el siguiente applet (pincha en la imagen) responde las preguntas a continuación.

FUNCIÓN  EXPONENCIAL

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real e^x, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=e^x o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

${\displaystyle E(x)=K\cdot a^{x}}$

siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0, a ≠ 1. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

FUNCION LOGARITMICA

Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == log_ax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial (ver t35), dado que:

log_a x = b Û a^b = x.

Representación gráfica de funciones logarítmicas y de sus inversas (exponenciales)

COMPOSICION DE FUNCIONES 

En álgebra abstracta, una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

Usando la notación matemática, la función compuesta g ∘ f: X → Z expresa que (g ∘ f)(x) = g(f(x)) para todo xperteneciente a X.

A g ∘ f se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.

INTRODUCCIÓN AL LIMITE

En matemática, el concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o unafunción, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.

En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad,derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(a_n) = a o se representa mediante la flecha (→) como en a_n → a. 

LIMITE LATERAL CONCEPTO DE LIMITE 

CONCEPTO DE LÍMITE

El límite de la función f(x) en el punto a, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor a.Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a a.

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L, cuando xtiende a a, si fijado un número real positivo ε, mayor que cero, existe un número positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de xdistintos de a que cumplen la condición |x - a| < δ , se cumple que 
|f(x) - L| <ε .

Existen funciones en las que a veces no es posible calcular directamente el límite en algún punto. Esto es debido a que estas funciones están definidas de diferente forma a la izquierda y a la derecha de ese punto. Para estudiar estos límites, se necesita recurrir a los límites laterales.

La condición necesaria y suficiente para que una función f(x) tenga límite en un punto de abscisa a es que tenga un límite lateral por la izquierda, tenga límite lateral por la derecha y ambos sean iguales. Si una función es convergente o tiene límite en un punto, éste debe ser único. Además, toda función que tiene límite en un punto está acotada en un entorno de ese punto.

Para calcular el límite de una función en un punto, no interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.

LÍMITE POR LA DERECHA

  

El límite de una función f(x) cuando x tiende hacia el punto a por la izquierda es L, si y sólo si:

para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que:

si x (a+δ, a), entonces |f (x) - L| <ε.

LÍMITE POR LA IZQUIERDA

El límite de una función f(x) cuando x tiende hacia el punto a por la izquierda es L, si y sólo si:

para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que:

si x (a, a+δ), entonces |f (x) - L| <ε.

DERIVADAS 

En matemática, la derivada de una función mide la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

INCREMENTO DE UNA FUNCION

DERIVADA DE UNA FUNCION 

Derivada de una función. La derivada es uno de los conceptos de significado dialéctico en matemáticas. La derivada, en el caso de una función real de una variable real, es el resultado de un límite y representa, geométricamente, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. En la Física, la derivada se puede entender como la velocidad instántanea. Se puede considerar la derivada como la razón de variación de una masa poblacional respecto de la variación del tiempo.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA 

Además de evaluar el valor de una función en cierto punto, también es esencial que evaluemos la variación en el valor de la función a medida que la entrada de la función varía. Esto se conoce como la pendiente de la recta en el caso de una recta lineal. Mientras que para una recta curva, la pendiente de la recta varía en cada punto. Esto significa que para una línea recta / función lineal se obtiene un número constante como su pendiente. Mientras que para una recta curva la pendiente es una función del valor de entrada de la función. La noción de derivada puede explicarse de dos maneras, una como la pendiente de la curva, que es la representación geométrica, y la otra como la tasa de variación, que es la representación física. La pendiente de la tangente de la curva extrae la derivada de la función 

ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE

ALGEBRA DE DERIVADAS 

Sean u$u$ y v$v$ funciones definidas en el intervalo abierto (a,b).$(a,b).$ Supongamos que u$u$ y v$v$son derivables en x∈(a,b).$x\in (a,b).$ Demostrar que u+v$u+v$ y u−v$u-v$ son derivables en x$x$ y además

(u+v)′(x)=u′(x)+v′(x),(u−v)′(x)=u(x)−v′(x).

TEOREMA DE LA DERIVADA 

Aunque dada la ecuación de una función es posible obtener su respectiva función derivada utilizando la definición, para algunas funciones este procedimiento resulta sumamente tedioso. Surge entonces la necesidad de simplificar este proceso, lo cual puede lograrse al estudiar los teoremas sobre derivadas.

REGLA DE LA CADENA 

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones

DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 

La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sen(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sen(x), se está calculando la función f'(x)tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x.

DERIVADA DE LA FUNCIONES INVERSAS 

En matemática, la inversa de una función ${\displaystyle \,y=f(x)}$ es una función que, en cierta manera, "deshace" el efecto de ${\displaystyle \,f}$(ver el artículo función inversa para una definición formal). La inversa de ${\displaystyle \,f}$ se denota como ${\displaystyle \,f^{-1}}$. Las expresiones ${\displaystyle \,y=f(x)}$ y ${\displaystyle \,x=f^{-1}(y)}$ son equivalentes.

Sus respectivas derivadas, asumiendo que existen, son recíprocas, tal y como se deduce a partir de la notación de Leibniz:

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}=1}$

Eso es una consecuencia directa de la regla de la cadena, ya que

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}}$

y la derivada de ${\displaystyle \,x}$ respecto ${\displaystyle \,x}$ es 1.

Escribiendo explícitamente la dependencia de ${\displaystyle \,y}$ respecto ${\displaystyle \,x}$ y el punto donde se calcula la derivada y usando la notación de Lagrange, la fórmula de la derivada de la inversa es

${\displaystyle [f^{-1}]^{\prime }(a)={\frac {1}{f^{\prime }[f^{-1}(a)]}}.}$

Geométricamente, una función y su inversa tienen gráficas que son reflexiones respecto la línea ${\displaystyle \,y=x}$. Esta reflexión transforma el gradiente de cualquier línea en su recíproco.

Asumiendo que ${\displaystyle \,f}$ tiene inverso en un entorno de ${\displaystyle \,x}$ y que su derivada en este punto es distinta de cero, su inversa será diferenciable en ${\displaystyle \,x}$ y que su derivada viene dada por la expresión anterior.

DERIVADA DE LA FUNCION EXPONENCIAL

 La importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de las propiedades de su derivada. En particular,

${\displaystyle {d \over dx}e^{x}=e^{x}}$

Es decir, e^x es su propia derivada. Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior:

• La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.
• La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.
• La función es solución de la ecuación diferencial ${\displaystyle y'=y}$.

Si la base de la función exponencial es cualquier número real a mayor que 0, entonces su derivada se puede generalizar así:

${\displaystyle {d \over dx}a^{x}=a^{x}\cdot \ln(a)}$

donde la función ln(a) es el logaritmo natural de a. En el caso particular de a = e resulta que ln(e) = 1 y por lo tanto ${\displaystyle \textstyle {d \over dx}e^{x}=e^{x}}$.

DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA 

En el ámbito de las matemáticas, específicamente en el cálculo y el análisis complejo, la derivada logarítmica de una función f queda definida por la fórmula

${\displaystyle {\frac {f'}{f}}\!}$

donde f ′ es la derivada de f.

Cuando f es una función f(x) de una variable real x, y toma valores reales, estrictamente positivos, esta es entonces la fórmula para (log f)′, o sea, la derivada dellogaritmo natural de f, como se deduce aplicando directamente la regla de la cadena.

APLICACIÓN DE LA DERIVADA 

La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc.

TEOREMA DE ROLLE

En cálculo diferencial, el teorema de Rolle demuestra la existencia de un punto interior en un intervalo abierto para el cual la derivada de una función derivable se anula cuando el valor de ésta en los extremos del intervalo es el mismo. Es generalizado mediante el teorema del valor medio, del que este es un caso especial. Es uno de los principales teoremas en cálculo debido a sus aplicaciones.

Fue establecido en 1691 por el matemático francés Michel Rolle (1652-1719).

TEOREMA DEL VALOR MEDIO 

En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de Lagrange), teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante del cálculo (ver también el teorema fundamental del cálculo integral). El teorema no se usa para resolver problemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrarotros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor, ya que es un caso especial.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS 

En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de laoptimización matemática.

PUNTO DE INFLEXIÓN

 Un punto de inflexión es un punto donde los valores de una función continua x pasan de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.

En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.